渾沌和分形於20世紀70年代被科學界發現以後，在西方發達國家迅速引起一批詩人、文學家、藝術家的響應和跟進，他們熱烈地談論「渾沌激起的藝術」，欣賞「分形的美麗」，急匆匆地跑向寫字臺或油畫布，創作出表現渾沌或分形韻味的文藝作品，並把渾沌與分形作為一種文化隱喻引入文藝理論。相比之下，中國學術界、文藝界的反響頗為平淡，近乎一片沉寂。10年前我們曾經呼籲：「文藝界的朋友們不妨瞭解一點渾沌和分形，這會對他們的藝術創造有所裨益。」但沒有激起任何浪花。我們堅持認為，這種局面不利於中國文學藝術的發展。這篇文字就是為促成這種局面的改變所做的一次新努力。
一、 詩與幾何學
人類與動物顯著不同的一個方面，在於人不僅需要物質地生存於天地之間，而且需要詩意地生存於天地之間。不論物質地生存，還是詩意地生存，人都需要認識和把握客觀對象的形貌、形態，其中很重要的一方面是物體的幾何形狀。用科學方法把握物體形狀的努力產生了幾何學。從歐幾里得以來，幾何學研究的都是規整的圖形，雖然形狀各異，千差萬別，但都是規整的線、規整的面、規整的體，可以統稱為整形幾何。整形幾何學建立了極為豐富的理論體系，給我們提供了描述物體形狀強有力的概念、原理和方法。
人類也創造了刻畫物體形狀的藝術方法。曼德布羅特認為，整形幾何是人工製品的幾何學。中國古代的工藝品製作特別發達，水平極高。這就給詩人提供了大量幾何知識和藝術原型，經過歷代詩人的藝術加工，創造出豐富的意象。其中，作為語言藝術的文學作品，包括詩歌，大量描述物體的形狀，創造出許多特殊的手法、詞彙等。湖光水色，山形物態，風花雪月，一切客觀物體，一經詩人那雙「別眼」的解讀，就會「解用都為絕妙物」，賦予它們以人的情思、意願、美感，轉化為獨特的意象，塑造出優美的意境。幾何學知識無疑有助於詩人理解自然客體的形狀，啟發他們用某些規整的幾何形狀構造意象。例如，古代詩人有「露似真珠月似弓」（白居易）、「玉鑒瓊田三萬頃」（張孝祥）等名句，現代詩人筆下也有「明鏡似的湖水」、「金瓶似的小山」之類描繪。鏡面、彎弓、金瓶等都是精美的人工製品，詩人常用它們比喻某些自然物的形狀。而「大漠孤煙直，長河落日圓」（王維），「一雙丹鳳三角眼」（曹雪芹）等佳句，更是直接援用幾何術語「直線」、「圓」、「三角」來狀物寫景的。
但是，絕大部分自然物的形狀無法用整形來描繪。曼德布羅特有句名言：「雲彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮並不光滑，閃電更不是沿著直線傳播的。」與規整圖形相反，這些自然物體的形狀極不規則、支離破碎、異常複雜，為整形幾何學所不屑研究，實際上它的基本元素和方法也無法描繪這類形狀。但大自然存在的幾乎都是這種奇形怪狀，它們極易給詩人以靈感，表達自己難以明狀的感受、情緒、心態、志向，因而大量出現於詩歌中，特別是中國古典詩詞。由於這些形狀被排除於幾何學的研究對象之外，詩人完全無法從幾何學和工藝品中獲得如何把握它們的啟發。但歷代詩人憑藉豐富的生活閱歷和超越常人的形象思維能力，硬是把許多自然分形的美感信息捕捉到紙面上，留下無數優美的詩篇。由於缺少科學理論的支持，中國傳統文論、詩論無法給這些事實以確切的理論詮釋，沒有人按照分形思想來解讀和評詩。現在是填補這一空白的時候了。
為便於下面分析，首先扼要說明分形(fractal)的兩個基本特徵。其一，分形是由極多的、尺度大小極不同的層次嵌套而形成的結構（理論上數學分形具有無窮多層次），按照不同的尺度觀察，看到的是同樣的圖形。這種部分與整體結構相似的特徵，叫做自相似性。自相似性顯然是一種美，但無法用傳統的線段、圓孤、三角形等來刻畫，只有分形幾何可以勝任之。
其二，自然分形還具有明顯的不規則性、無序性、粗糙性、破碎性，臺灣學者把fractal譯為碎形，就突出了這個特徵。規則圖形提供的是規則美、有序美、簡單性美，但大自然還存在大量不規則美、無序美、破碎美、複雜性美，即分形美。人類感情還強烈地需要悲劇美、丑角美等，幾乎無法用傳統幾何來表達，而分形的第二類特徵恰好能夠滿足這種要求。古典詩詞對兩類分形特性都有大量描繪。
二、 古典詩詞對空間分形的描繪
一切可以引發詩興的分形自然物體都存在於我們心靈之外的物理空間中，以各自特有的方式和數量佔有一定的空間，通過視覺、聽覺、觸覺、味覺等啟動詩人的藝術思維流程，形成反映對象分形空間特性的意象，創造出富有美感的神韻和境界。自相似的層次嵌套結構是自然分形使人產生美感的首要因素。迄今利用分形幾何原理和計算機繪圖技術製作的分形圖形幾乎都是表現自相似之美的。
溪澗、池塘、湖泊、江河、海洋大量出現於詩詞中。這些自然景物的分形特徵主要表現於三方面。其一，未經人工修整的河岸、湖岸、海岸等是分形，曲曲折折，大曲折中套有小曲折。曼德布羅特有關分形的第一篇論文就是討論英國海岸線的，已成為這個領域的經典文獻。但就筆者的閱讀範圍看，中國古典詩詞中很難見到描繪這種分形的作品，即江河湖海邊界的分形美極少引起詩人的感情共鳴。周邦彥《解連環》詞中有「料舟依岸曲」，似應算作一例。唐初四傑的王勃對水岸分形有較準確的體認，在《滕王閣序》中有「鶴汀鳧渚，窮島嶼之縈迴」的描述，極寫渚嶼邊界之曲折。可惜這種認識並未轉化為詩意。
其二，江河湖海中的波濤、浪花、漩渦、湍流等極易給詩人以靈感，古典詩詞大量涉及這方面，佳作無數。一些著名詩句如「野溪溯林湍」（孟浩然），「飛流直下三千尺」（李白），「滿江風浪夜如何」（朱熹），「滾滾長江東逝水，浪花淘盡英雄」（楊慎）等。波濤在科學上按照週期運動來描述，力學家甚至把馮延巳的名句「風乍起，吹皺一池春水」作為力學中「風生波」現象的形象描述來解讀。週期性的幾何形式是正弦曲線，無疑能給人以某種美感。詩詞中有這方面的描述。張孝祥的詩句「波神留我看斜陽，喚起鱗鱗細浪」，庶幾可以看作這類意象。它表現了詩人愉悅的感受和恬淡的心態。但規則的週期運動過分單調貧乏，用以表達人的情感的手段極為有限。無論科學、文學或者日常生活，人們都把漩渦、湍流、浪花看成典型的分形，浪呈花狀極準確又形象地描繪出浪濤的分形特徵。 曾公亮的「要看銀山拍天浪，開窗放入大江來」，潘閬的「來疑滄海盡成空，萬面鼓聲中」，同樣如此。仔細品味這類詩句不難發現，詩人筆下的波濤（更不用說漩渦、湍流）都是包含無窮多細節的分形流動，只有這種景象能夠寄寓詩人那無法言明的多樣、複雜、細膩而又壯烈的情懷。即使馮詞，作者要描繪的是女主人翁情感海洋的波瀾乍起，借風吹波生的自然現象起興，意在使她那無形的情感波瀾形象化，並不看重池水波動是否有週期性，因為不規則是情感活動的固有特徵。
其三，大江大河是由數不清的支流次第匯聚而成的，形成特定的水系，把它的所有支幹畫出來就是一幅分形圖。有人就曾畫出密西西比河的分形圖。由於沒有分形幾何的知識，詩家單憑自己的經驗去把握，極少有人放眼整個水系，一般都只攝取江河的某一段或某個渡口（如詩家常講的「南浦」），不能反映水系整體的分形特徵。但也有少數詩人把握了河流水系整體的分形特性，並成功地給予藝術的再現。試析清代阮元的《吳興雜詩》：
交流四水抱城斜，散作千溪遍萬家。
深處種菱淺種稻，不深不淺種荷花。
頭兩句刻劃的正是河流水系的分形特徵。「交流」、「斜」或多或少已透露出作者對水系不規則性、複雜性的觀察和感受，是對整形幾何觀的某種超越。第二句更是關於水系分形的典型刻畫，準確、生動而富有韻味。「散作」就是分形幾何常講的分支化操作（可以用所謂L系統給予精確的刻畫），從環抱吳興城的四水沿河上溯，作者看到的是不斷分叉而形成的千溪萬流，整體上構成一幅分支式分形圖。水系的分形造就了居民點分布的分形。自然界的水系本來是由千溪萬澗逐步匯聚而成的，村落是人們擇水而居所形成的，都是一類分形結構。作者採用詩家慣常的人格化手法，彷彿是先有了居民點的分形分布，而後河流為了親近千村萬戶，便從吳興城外的四水開始，逐步分散為千溪萬澗，遍灑人間。水系是自然地理系統的分形，居民點分布是人文系統的分形，兩幅分形畫面不可分離地交織在一起，既展示了獨特的美學意韻，又體現了地球母親的厚德載物。
地理分形造就了氣象的分形特徵，地理分形與氣象分形共同造就了生態環境的分形特性，導致動植物的多樣性、差異性、相關性和複雜性，形成植物生態系統的分形特性。詩作的後兩句表明作者在一定程度上已經意會到這種生態分形，通過對農作物間種的形象描繪，反映了河流分形帶來的生態多樣性，進一步豐富了詩作對水系分形描繪的內涵。
古典詩詞中描繪最多的自然分形形象是山，或單個的山峰，或群山，或整個的山脈、山區，都是詩人寄託情思、志向的絕好載體。現有關於分形的科學著作中經常給出計算機繪製的分形山脈，著重於表現山的層次嵌套自相似性，十分漂亮而傳神。自然界的山嶺遠不具備這種嚴格的自相似美。或許由於這個差別，加上沒有分形幾何學的知識的啟示，古代詩人不善於正面描繪山脈層次嵌套的自相似性，似乎沒有創造出很成功的典型意象。但山脈分形特性的表現是多種多樣的，有山區生活經歷的人都會對山的分形特徵留下深刻而具體的印象，只是很難用語言文字表達出來。鍾情於大自然的詩人發揮超越常人的想像力，充分利用中國文字的獨特性質，經過「二句三年得，一吟雙淚流」式的苦苦推敲，常常無須花費筆墨描繪山如何層次自相似、如何不規則，就能勾勒出山的分形之美。
分形山脈自相似層次嵌套結構的一種表現是山中有山，峰上有峰，洞中有洞，或者峰上有洞，山上有壑，壑中有峰，洞中有峰，等等。古典詩詞中有這方面的描繪，如「大王之峰峰上峰」（記不得作者為何人），很有點像曼德布羅特集。
眾多山、谷、峰、壑組成的山脈在整體上構成分形，其分形特徵似乎更能吸引古代詩人的注意力，留下難以計數的作品。「眾山迢遞皆相疊，一路高低不記盤」（方干），「一重山，兩重山，山遠天高煙水寒」（鄧肅），「疊峰西馳，萬馬迴旋，眾山欲東」（辛棄疾），等等，都是對山脈分形的整體刻畫，凸顯山脈分形重重疊疊、層次嵌套的結構特徵，藉以抒發某種豪邁而複雜的情懷。
有山常有雲，寫山者常常同時寫雲。山的分形，雲的分形，一靜一動，各有特色，兩相輝映，交織出一幅更加微妙、更有詩情畫意的複合分形圖像。秦觀的名句「山抹微雲」歷來備受稱道，與此不無關係。我們來看郎士元的《柏林寺南望》：
溪上遙聞精舍鐘，泊舟微徑度深松。
青山霧後雲猶在，畫出西南四五峰。
泛舟溪上的作者在很遠處已聽見柏林寺的鐘聲，立即泊舟登岸，沿著「微徑」攀登進發：「遙聞」表明路很長；「微徑」表明路細窄、曲折、難走、幽靜，免不了左旋或右盤，上行又下行；溪上可以行船，表明小路不時要跨過不能行船的小溪；「深松」表明松林茂密、幽深、闊大，遍佈枯枝落葉，等等。這一路攀登所經歷的景致，恰如一首蘇聯歌曲所唱的那樣，「一條小路曲曲彎彎細又長，一直通向迷霧的遠方」，所感受的必然是一種分形美，截然不同於漫步在西湖蘇堤之上。登上寺院後舉目南望，穿過經雨霧洗刷而格外清新的空氣，視線觸及經雨霧洗刷過的青山，看到的景致格外清爽鮮艷，數峰穿破白雲，錯落而有緻，峰面突兀崢嶸，或許還能看到翠色欲滴的植被，這些形象交織成的分形圖案是如此美麗如畫，引逗得詩人發出只有造化的鬼斧神工才能夠「畫出」來的感嘆。
分形山脈，分形水系，分形居民點分布，三者不可分割地交織在一起，形成更複雜更有韻味的分形，它的自相似性給詩家帶來的美感更親切、豐滿、迷人。愛好旅遊的詩人善於捕捉此類分形的美好形象，用文字鎖定於他們的詩篇中。古典詩詞有不少這方面的作品。最典型的大概是幾乎每個中國人都能脫口而出的陸游名句：
山重水復疑無路，柳暗花明又一村。
部分與整體相似，決定了不同部分之間也相似。「山重水復」四個字簡捷而準確地描繪出山水地理的不同部分之間的相似性，「疑無路」三字表達了地理自相似性給旅客帶來的疑慮，有山區旅遊經歷者都有此種感受。第二句寫的是居民點的分形分布，在旅客不斷陷入困惑後，村落又不斷重複出現，以及它給疑惑中的行人帶來新的喜悅，也是一種分形自相似美。
自然分形的層次嵌套自相似結構給予詩人騷客的都是令他（她）感到愉快、歡樂的感情。或者說，當詩人以歡樂、高昂的情志去感觸大自然的分形事物時，他或她攝取的是自然分形層次嵌套的自相似結構產生的美感信息，鑄造成相應的分形意象。如前所說，自然分形還可以產生另類美感。古典詩詞就這方面涉及分形的作品，比前一類要多得多。因為分形幾何提供的一個重要啟示，就是「奇形怪狀具有意義」，也有美感，而且是漂亮的規則形狀所不具備的美，即所謂奇異美、粗糙美、無序美、不規則美、複雜性美。詩人騷客用人們習慣了的規則形狀去比對，在熟悉的語匯中找不到適當的東西來描繪它們，自然產生怪、奇、險、幽之類的感受，能夠激發詩人情懷的常常是這種分形特徵。古典詩詞中經常出現的「亂」、「紛亂」、「奇形」、「怪貌」、「雪紛紛」這類字詞，都是狀寫自然分形之不規則美的。用「亂」字打造的名句極多，如「亂花漸欲迷人眼」（白居易），「亂紅飛過鞦韆去」（歐陽修），「白玉跳珠亂入船」（蘇軾），「亂山高下路東西」（曾鞏），「青天亂插玉蓮花」（厲鄂），等等。
自然分形粗糙性和不規則性，尤其容易引起豪放派詩人的共鳴。這派詩人特有的人生志向和藝術風格使他們常常把眼光投向那些機智勇猛、叱吒風雲、力挽狂瀾的千古風流人物，力求以詩歌頌揚英雄豪傑們激烈、驚險、雄奇、壯麗的人生際遇，這也是一種分形。要把由英雄人物鬥智鬥勇演繹出來的歷史過程的分形特徵物化、形象化，最有效的辦法是狀寫山、水、風、雲等自然風光。顯然，整形那種連續、光滑、柔和、協調、細膩、明顯的規則性等特徵無濟於事，有價值的是自然分形的奇特、怪異、粗豪、洶湧、壯闊等特徵。
試看蘇軾《念奴嬌•赤壁懷古》一詞對空間分形的描繪。詩一開頭，作者就以關西大漢執鐵板的氣概盤空唱出「大江東去，浪淘盡千古風流人物」，把他要頌揚的英雄置於奔騰激盪的江濤之中。「淘」不僅有沖刷之意，還有淘冶之意。什麼樣的空間環境能夠淘冶出周瑜式的豪傑呢？作者給「三國周郎赤壁」作了如此刻劃：「亂石穿空，驚濤拍岸，捲起千堆雪」。「亂石」描繪的是山石多、形狀各異、安置無序（少、形狀同、安置有序則談不上亂），石亂而且「穿空」，意味著石塊高聳、巨大、橫出斜插（石低、石小談不上穿空，佛塔式整形建築的穿空不能講亂）。
總之，江岸山石呈現出一派高危、險峻、奇異的分形形象。拍岸的浪濤令人「驚駭」，凸顯作者狀寫的不是波濤的週期性，而是它的巨大、猛烈、頻繁、無規則，如狂飆怒號，似山崩地裂；「驚」還在於濤岸相拍擊發出的聲響絕非悅耳的音樂，而是叫人心驚肉跳的轟鳴，即強烈的雜訊，而雜訊必定是分形。雪是典型的自然分形，以雪比喻浪濤，從另一側面把浪濤看作分形。「卷」字用得極好，既形象生動，又準確科學。驚濤駭浪衝向懸岸峭壁必然成倒捲之勢，捲成的只能是漩渦、湍流，不會是週期波，再同江面上的波濤相互激盪，捲出重重渦浪。浪呈堆狀大概是蘇軾的首創，表示浪濤聲勢浩蕩，其大小、形態各異，分布不規則，充滿不確定性；數不清雪白也似的浪頭前呼後湧，組成整個江面的分形畫圖，整體氣勢確實驚心動魄。瞧，短短十三個字，勾勒出的是一幅多麼壯麗的山水分形圖，完全配得上「江山如畫」四個字。在如此險峻的環境中能夠「談笑間，檣櫓灰飛煙滅」，就把周郎「雄姿英發」、大智大勇的形象淋漓盡致地烘托出來了，暗示周瑜式的英雄豪傑掀起的歷史波瀾同樣是一種猛烈、壯闊、粗豪的分形。自然分形與歷史分形的這種一致性，抑或也是「天人合一」的一種體現吧。
狀寫花、草、樹、葉這些自然分形的詩詞也難以計數。在分形幾何中，這是一類由單一的「根部」不斷分枝化形成的分形。古代詩人已經準確地抓住了這個特徵。例如，「楓葉千枝覆萬枝」（魚玄機），「庭花密密疏疏蕊，溪柳長長短短枝。」（戴石屏），「香枝鬱鬱龍蛇狀，碎影重重霜雪身」（《西遊記》65回）， 等等，這些形象都是整形幾何語言無法刻畫的。
劉禹錫的《謝寺雙檜》有一定代表性。詩由「雙檜蒼然古貌奇」起興，點明觸動作者詩興的正是無法用規則形狀描繪的雙檜的蒼然奇貌。奇在哪裡？詩人的回答是「含煙吐霧郁參差」。分形的一個特徵是，在數不清的層次嵌套中，不論你選定哪個尺度去觀察，總有些更小尺度的精細結構雖然進入眼帘，但又看不很清楚，使人在精美愉悅中又生出茫然之感。雙檜枝繁葉茂，鬱鬱蔥蔥，參差不齊，再籠罩於朦朧的煙霧之中，奇異之美便油然而生。
自然界是由山、水、雲、雨、花、草、樹等各種分形物體一起構成的，再加上禽、獸、人家等，交織成一幅更加多姿多采的綜合的空間分形畫面。不少詩人捕捉到這種全景式的分形，給出精彩的描繪。梅堯臣的《魯山山行》可能是其中比較成功的一首：
適與野情愜，千山高復低。
好峰隨處改，幽徑獨行迷。
霜落熊升樹，林空鹿飲溪。
人家在何許？雲外一聲雞。
山峰、溪流、樹、林、雲、霜、熊、鹿、雞、人家都出現在詩中。但詩人著力描繪的首先還是山的分形特徵。二、三、四句是客觀地狀寫魯山之美，「千山」指它的組分極多，「高復低」、「隨處改」狀寫組分的不整齊、不規則、重複性、差異性以及多變性，這些分形特徵造就了座座婀娜多姿的「好峰」和曲曲折折、峰迴路轉的「幽徑」。「改」字下得頗具神韻，使山巒人格化，其意近似杜甫的名句「造化鐘神秀」，抑或還包含這樣的意思：造化為取悅於人而把山巒造得曲折迴環。如此美麗誘人的山野景色，加上落霜、禿樹、空林、層雲這些自然分形，再收人熊、鹿、雞等動物，更增添了畫面的生機。第四句主要寫作者的主觀感受，不同峰巒和溪澗分岔多、自相似等分形特徵，令遊人感到迷惑（疑無路），看不到可以親近、投宿的村落，難免產生孤寂感。而視野之外傳來的雞聲，報導了人家的方位、遠近，立即消除了詩人的孤獨和寂寞感，又給他指示了前進的方向，增添了繼續攀登遊覽的興致。如此這般的野情野趣，怎能不令作者稱心愜意呢？
山、水、樹、林、花、卉等自然分形並非總是給人以歡樂愉快的感受，它們還有相反的另一面，詩人主觀上也常常需要抒發另一種情感，如惆悵、悲哀、痛苦等。這時，進入詩人視野的是那些破碎、零亂的自然分形形象，它們特別能勾起詩人強烈的悲情愁緒，寫出極富悲劇美的詩篇。馬致遠的名句「枯籐老樹昏鴨」頗具代表性。詩人在旅途中不可能沒有遇到令人愉悅的自然景色，但進入他的視野的卻是令人傷感的枯籐、老樹、昏鴨。詩人用不著正面刻畫樹皮如何不光滑，枝條如何不規則，只須擺設這幾個人人熟悉的分形意象就足夠了。前引馮延巳詞用「皺」字狀寫池水，如同說衣服皺皺巴巴一樣，著眼處也是池面波紋的破碎和不規則性。從分形觀點看，易於體會「皺」字用得相當傳神。
更典型的可能是杜甫的《同諸公登慈恩寺塔》。三秦大地的美麗風景，長安南面滿載詩意的終南山，清濁截然分明的涇河與渭水，曾給多少古代詩人以靈感，寫出頌揚祖國美麗河山感人至深的詩篇。但是，安史之亂前夕的詩聖杜甫，目睹戰亂將臨，執掌朝廷大權的「隨陽雁」們置國事民生於不顧，醉心於各自的「稻糧謀」，盛唐面臨即將迅速走向衰落的危機。憂國憂民的愁情悲緒使杜甫在大雁塔上看到的那些熟悉的景物「忽然」都變了：
秦山忽破碎，涇渭不分明。
俯視但一氣，焉能辨皇州。
秦山（終南山）支離破碎，涇河與渭水模糊不清，使杜甫深感眼前的長安籠罩在一片烏煙瘴氣之中，無法辨認了。言外之意則是詩人對唐王朝的前途憂心忡忡，悲觀失望。如果這時的老杜對唐王朝即將破碎的社會局勢還只是預感，那麼，安史之亂後現實的唐王朝真的是一片狼藉，山河破碎，城市荒蕪，終於使詩人用血淚凝結出「國破山河在，春城草木深」這樣的歷史感慨。詩人在這裡展現給讀者的是一種悲壯的分形美。
三、古典詩詞對時間分形的把握
空間分形，包括自然界一切實物的分形外觀，正常人都可以藉助感官直觀地把握，變為視覺的或聽覺的或觸覺的形象。詩人的功夫主要在於如何捕捉這些感覺形象的信息，經過思維的加工處理，釀造成美學意韻，再用語言文字表達出來，創造出可以傳頌的藝術形象。時間分形是抽象的，無法像空間分形那樣刻畫，詩人卻通過心靈的感受和主觀的體驗加以把握，再經過可視化或可聽化處理，就能讓讀者憑藉這些形象獲得自己對時間分形的主觀體驗。受現代科學的機械論世界觀和還原論方法熏陶的人無法做到這一點。
古典詩詞中有許多反映時間分形的佳作。首先看王昌齡的《出塞》詩（之一）：
秦時明月漢時關，萬里征程人未還。
但使龍城飛將在，不教胡馬度陰山。
這首詩歷來受到極高評價，有人尊奉它為唐人七絕的壓卷之作。尤其第一句，被認為最美，最耐人尋味。它美在哪裡？妙在何處？卻眾說紛紜。不同時代的學者都有自己的新理解、新發現，責備「前人推獎之而未研其妙」，但在後人看來他們也解得不夠透徹。今天，我們從分形觀點來解讀，仍然可以發現千餘年來未曾挖掘出來的新意韻。另外，這首詩頭一句使用了明月和邊關兩個意象，涉及秦漢兩個不同時代，常常使人有「似不易理解」的感覺，導致「秦月照漢關」的誤解，有人甚至指責它不通。引入分形觀點可以徹底消除這種誤解。
分形自相似性的另一種更科學的表述是尺度變換下的不變性，人們在大小極不相同的尺度下觀察同一事物，看到的是相似的圖像。用之於時間，分形意指事物過程或社會歷史顯示出來的時間尺度變換下的不變性，即事物過程和社會歷史的自相似性，能給人以特殊的美感。這首詩妙就妙在這裡。無論按照從秦漢到唐的千年尺度看，還是按照唐代三百年的尺度看，或者按照唐太宗當政二十二年的尺度看，或者按照更小的時間尺度（十年、一年、一月、一日）去看，看到的都是同樣的情景：關山還是那些關山，月亮還是那個月亮（註：今天的詩人仍然在歌唱「星星還是那個星吆，月亮還是那個月亮。」），一樣的萬里征程，一樣的戍邊難返，一樣的企盼，一樣的思念，一樣的憂愁，一樣的為國奉獻。這正是時間尺度變換下的一種不變性，即時間分形之美，歷史分形之美，一種愛國主義的悲壯美。
一千多年前的王昌齡慧眼獨具，把這種時間尺度變換下的不變性凝結為十四個漢字，留下這首千古絕唱，現在仍然很有現實的感染力。因為直到今天我們仍然需要戍邊的將士，仍然需要奉獻祖國，仍然會有分居邊關和家鄉的親人借月相思，仍然在發出「十五的月亮，照到邊關照到家鄉，寧靜的夜晚你也思念我也思念」的詠嘆！
作為一種自然分形，事物過程和社會歷史的自相似也不是嚴格的，同樣存在時間變換中的可變性、失似性，即不可重複性。王詩也看到這一點，抓住了非常典型的表現：在幾千年不變的戍邊情結中，令人痛心的是李廣式的良將並非代代都有，邊關的失利時有發生。但是，在歷史變遷中因物是人非而凸顯出來的遺憾，對龍城飛將的懷念和企盼，又是亙古不變的，這也是一種歷史的自相似性。王昌齡深刻地理解了這一點，於是就有了同樣感人的後兩句，使前兩句塑造的美學韻味更具歷史的滄桑感。
物理地看，時間是一種客觀存在；心理地看，時間又是一種主觀體驗。客觀的時間是不可逆的，時間之箭從過去單一地指向未來，古人形象地比喻為「光陰似箭」，十分確切。古人發現這種直線時間可以用地球自轉、月亮繞地球轉動等客觀過程的一個週期為單位來度量，用「日月如梭」來形容，其中已經包含對時間的主觀體驗。現代物理學指出，時間是由在其中發生的事件來規定的，時間就是事件的集合，事件P的過去「是能影響發生在P的東西的所有事件的集合」。客觀時間是直線式展開的，主觀體驗的時間一般卻可能分形地展開，具有分形曲線的結構；對於同一段直線時間，不同主體可以按照不同的分形方式展開它。在同樣的客觀時間內（如地球繞日一週），主體經歷的事件之丰度、深度、難度、曲折度的不同，他或她對時間的主觀體驗必大不相同。這樣的時間觀在中國古典詩詞中有極為豐富而深刻的反映。
在另一篇文章中，我們曾就岑參的《春夢》作過討論：
洞房昨夜起春風，遙億美人湘江水。
枕上片時春夢中，行盡江南數千里。
在直線時間很短的「片時春夢」中，濃烈的情感浪濤迫使洞房主人把它分形地展開，從而使自己能夠行盡江南數千里，去與心上人幽會，發泄纏綿悱惻的情感體驗。按照岑參的理解，時間具有橫向的寬度，可以延綿為二維的「片」。這種時間概念，從直線時間觀看是荒謬的，從分形時間觀看卻順理成章，作為分形曲線的時間大於1維，可以用片來度量。
再看盧綸的《逢病軍人》：
行多有病住無糧，萬里還鄉未到鄉。
蓬鬢哀吟古城下，不堪秋氣人金瘡。
此詩描繪了對分形時間的另一種大不相同的主觀體驗。萬里歸途的跋涉，金瘡傷病的熬煎，食宿衣著的匱乏，世態炎涼、白眼橫視、還鄉無望的心理折磨，使這位在返鄉路上苦苦掙扎的病軍人時時生活在常人難以體會的痛苦中，迫使他不斷按照片刻、時辰、日、月等不同尺度去度量時間，而每一種尺度的時間都是分形地展開的。相似的困境，相似的感受，相似的掙扎，相似的心靈劇痛，時復一時、日復一日、月復一月地重複發生，望不到盡頭。在由如此這般的分形事件織成的經歷中，他必然感受到時間過得極其漫長難熬。
主觀體驗的時間都是相對的，視主體的思想境界、心理狀態而定。就李清照而論，早期作品中雖然也有「一種相思，兩處閑愁」的描寫，但貴族家庭的富裕，婚姻生活的美滿，使她基本處於快樂的情緒中（至多有一些「富貴閑愁」），正常的昏睡晨起，盡情的嘻戲玩耍，潛心的寫作吟誦，用不著時時留意於度量時間的長短，不會產生日子漫長難捱的感受。她這個時期的詩詞雖未直接談到對時間的主觀體驗，但顯然沒有時間難熬的感受，或者說她感受到的大體屬於通常的直線時間。南渡以後，國破夫亡、流離顛沛使她在物質和感情生活兩方面都陷入前所未有的困境，巨大的悲痛和憂愁使她對分形時間有了切膚之感，很多詩作記錄了這種感受。最有代表性的是那首近千年來讓無數文人墨客讚不絕口的《聲聲慢》：對往日夫妻生活細節的回憶，對今天孤獨無依的感受，目睹舊時相識的大雁飛去，物是、人非、情變，不盡的牽掛、想像、期盼，使她每分每秒都在無奈中「尋尋覓覓」。時間箭頭被悲情愁緒分割折疊，充滿曲屈、反覆、間斷、跳躍，交織成一條複雜的分形時間曲線，給予她的只能是「冷冷清清，淒淒慘慘慼慼」的感受。如果再碰上「梧桐更兼細雨，到黃昏，點點滴滴」的天氣，就令女詞人幾近絕望了。按照分形幾何學，分形曲線的長度不是一個確定的數，用不同尺度去量同一條曲線，得出的數值不同。就是說，在同一段時間中，主體所體驗到的時間長短取決於他或她度量時間的尺度大小，尺度越大（小），感覺到的時間就越短（長）。《聲聲慢》給這個科學原理提供了極為生動形象的描繪。雨打梧桐的聲音不斷把她從情感的分形時間拉回到直線時間，讓她以兩滴雨的間隔為尺度去度量她所佔有的時間，原本短暫的傍晚就近乎成為沒有盡頭的「永夜」，不能不發出「獨自怎生得黑！」的浩嘆，陷入「這次第，怎一個愁字了得！」的哀傷。
對時間分形的這種描寫，可能始於溫庭筠寫閨中情的詞《更漏子》。上片寫出女主角淒冷的秋思和被離情折磨的痛苦後，下片進一步寫道：
梧桐樹，三更雨，不道離情正苦。
一葉葉，一聲聲，空階滴到明。
要是始終沉浸在分形時間的曲折纏繞中倒還罷了，偏偏雨打梧桐的滴嗒聲又不斷把主人翁的思緒拉回到直線時間中，客觀的時間箭頭僅僅飛過兩滴雨的短暫間隔，主觀的情感之海已是波濤翻滾，以兩滴雨的間隔為單位度量整個夜晚，更感到長夜無邊、淒苦無限。有評論說它「把空間延伸得更深邃、更幽遠」，而我認為更難能可貴的是對時間分形的形象把握。幼安的《聲聲慢》顯然是從這首溫詞化得，而對時間分形的把握更深邃、更切情。
從語言運用上說，李詞最受人稱道的是疊字的運用。按照筆者的理解，在中國古典詩詞中，疊字的妙用常常是狀寫分形和模糊性的有力手段。就前者而言，字的重複意味著物像的重疊，或動作的反覆，它既可以狀寫分形的層次嵌套結構，也可以狀寫分形生成演化的迭代過程，藉以強化對感情的渲染。不妨例舉幾個：寫樹葉分形的如「綠岸毿毿楊柳垂」（孟浩然），寫落花分形的如「重重疊疊上瑤臺」（蘇軾），寫音響分形的如「嘈嘈切切錯雜彈」（白居易），等等。李清照的《聲聲慢》也可以作如此解讀：「尋尋覓覓」狀寫的是這裡翻翻、那裡看看這種單調而重複的動作，反映的是思緒中某種內容空虛、無聊而重複的運作，這種動作或運作用數學語言表達叫做迭代，不斷重複下去，造成的後果便是生理上越來越感到冷清孤寂，心理上則陷入「淒淒慘慘慼慼」的渾沌狀態。
四、情詩中的分形
寫詩是最具激情的文藝創作活動之一，情詩尤甚。藝術創造需要的是有情思維。如劉勰所說，文藝家「登山則情滿於山，觀海則意溢於海」；或如王國維所說：「物皆著我之色彩」。情感的波濤不僅是藝術思維的激發器、驅動器、方向盤，而且在相當程度上還是決定藝術思維具體表現形式的模具。人的情感是世間最複雜的事物，無形無像，變化多端，難以捉摸。但情詩同樣需要形象思維，藉助形象以表達情感，藉助形象來升華情感，藉助形象與人交流情感，引起共鳴。要把情感外化、形象化，只能通過狀寫可以直接感受的物質系統（包括人的表情、動作等）。經過數千年的創造和積累，古典詩詞創造了許多藝術手法把情感形象化，提供了大量極富表現力的意象。其中，有些可以藉助規整的幾何形狀來實現，更多的則需要藉助自然界的分形對象，托情於物，狀物抒情。上一節已有所論及，這裡再作些補充討論。
憂愁或悲傷是人類情感的基本表現形式之一，古典詩詞很大一部分是抒發憂情悲緒的，其中不乏傳頌千古的名篇。請看宋代晏殊的《蝶戀花》：
檻菊愁煙蘭泣露，羅幕輕寒，燕子雙飛去。明月不諳離恨苦，斜光到曉穿朱戶。
昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路。欲寄彩箋兼尺素，山長水闊知何處。
這是情詩中比較有名的一首。作者是如何把女主人翁內心無形的離愁別緒外在化、形象化的呢？在如煙之霧中發愁的菊花和滴露如泣的蘭花都是分形，這些精心建構的意象就是主人翁的形象代理，再加上秋寒幛輕，雙來的燕子又雙去，情人卻天各一方，徹夜未眠又被不諳離恨苦的明月一直照射著，女主人的愁苦心情已刻畫地相當感人。下片更傳神。西風凋盡葉片的禿樹仍然是一種自然分形，但引逗出來只能是愁情離恨。不是可以魚雁傳書嗎？這一點主人翁當然牢記在心。彩箋、尺素都指書信，兼字值得玩味，兼即重複、連並，所謂「彩箋兼尺素」（註：注家承認「為何重複，解釋不一。」胡雲翼認為：「重複地說，表示懷念很切。」雖然正確，卻不透徹。有些選本以「無」代「兼」，可以解釋為「欲寄書信卻無書信寄出。因為不知寄往何處」。但難解釋「為何重複」。惟「兼」字能體現分形無限重複的特點，有獨到的韻味。），就是思念兼思念、書信兼書信，這些心理和腦手的簡單操作一再重複，也是數學中的迭代；按照非線性動力學原理，簡單的迭代操作不斷重複進行，主人翁的心理系統就會進入渾沌狀態，其幾何特徵就是分形。渾沌的基本特點，如非週期的回歸性、遍歷性、對初態的敏感依賴性等，最恰當地刻畫了此時主人翁的心理狀況。要命的還在於，丈夫所在地遠隔千山萬水，山重重，水重重，又出現分形帶來的認知困惑：他究竟在哪裡，她並不知道。天涯路再遠也可「望盡」，心中的憂傷和思念卻是無窮無盡的；無盡的思念需要無盡的彩箋傳送，卻不知往哪裡寄送，您說她的心裏該有多少憂，多少愁！
晏殊還有一首題為《寓意》的情詩（七律），它的後兩句是：
魚書欲寄何由達，水遠山長處處同。
有注家認為這兩句與上詞最後兩句「寓意相同」，我贊同。但他們著眼於二者說的都是距離太遠書信無法到達，表明注家是依據整形幾何觀點來衡量兩地之間的地理特徵。我認為，以「無」代「兼」可以勉強解釋「知何處」，卻無法解釋「處處同」。如果我們猜想作者在說明魚書無法到達的原因時，不僅看到距離遠，更重要的是悟出兩地之間山重水復的自相似性及其帶來「疑無路」的認知效果，那麼，兩者「寓意相同」即可獲得圓滿的解釋：「處處同」就是地理上的自相似，導致女主人「知何處」的無奈。應當相信，歷代大詩人憑藉他（她）們超常的藝術直覺和形象思維能力是能夠把握自然界的分形特性的。
處於濃烈而持久激情之中的人，情感信息必然投射於身體的各個部位，並被自己意識到。在人體的所有器官中，唯有腸子那細長、盤旋、曲折、陰柔、中空等特點最能表現憂情悲緒，這些恰是分形的特徵。憂愁過度、過久，很容易引起腸道病變，產生痛感，嚴重時腸子如斷裂似的，我們老家（山西榆社）就有「氣得肚子疼」的說法。大概由於這兩點，古典詩詞創造出「愁腸」、「斷腸」、「斷腸人」之類意象（它們在古典詩詞中出現的頻率很高），用以反映極度憂傷者的心路歷程具有分形結構，即瑣碎、無序、數不清的結構細節、用通常的長度單位度量已無意義，等等。這還不能令那些追求「語不驚人死不休」的詩人騷客滿意，憂愁而腸尚未斷，表明憂愁得還不夠；愁腸變成斷腸，而且是「愁腸寸斷」，每一寸斷腸再打上千萬個結，「一寸愁腸千萬結」（韋莊），極端地顯示出愁情悲緒那種支離破碎的分形特徵，詩人才認為把悲情愁緒足夠地形象化了。
中國古代情詩作者大量運用模糊思維，用模糊的意象表達某些特殊的感情、思緒。上世紀八、九十年代不少學者對此有過許多分析評論。模糊性與分形常常有內在的聯繫，或者說，自然界的分形事物是主、客觀模糊性的重要根源。這至少表現在兩方面：其一，分形對象A在其邊界處與它的對立物非A總是你中有我，我中有你，界限模糊；其二，分形在大小差別懸殊的尺度上顯示的自相似精細結構，只要你選定一定尺度去觀察，對於更小尺度上的精細結構必然感覺模糊，似有若無。在詩詞特別是情詩中，常常是分形與模糊性同時出現，共同構築起朦朧、奇異、神秘的意境。如「青山隱隱」、「細雨紛紛」、「殘紅碎綠」，「楊柳堆煙」，「薄霧濃雲」，等等，這些意象既是分形的，又是模糊的。前述杜甫在大雁塔上抒發觀感，劉禹錫關於雙檜樹的刻畫，也是分形和模糊並舉的。
必須指出，出現在古典詩詞中的山、河、樹、雲等自然景物，並不總是被當作分形對待的。自然景物還具有種種非幾何特性，可以入詩抒情。當作者欲借某些自然景物之間在重輕、深淺、速緩之類差異來抒發某些特殊情感時，就無需狀寫其分形特徵。張先的「人生無物比多情，江水不深山不重」即一例。李白名句「山從人面起，雲傍馬頭生」，極言棧道狹窄到人要貼山而行，高聳到馬頭之遙雲已可見，也不涉及山與雲的分形特徵。
五、哲理詩中的分形
自然科學家揭示自然界的真理，人文社會科學家揭示社會歷史和人生的真理，主要通過抽象思維來實現。詩人和文藝家頌揚美和善，揭示人生真諦，主要通過形象思維來實現。然而，在更深層次上，真、善、美是相通的，詩人通過塑造某種美妙形象同樣可以深刻揭示人生真理，寫出傳誦千古的哲理詩。這裡，各種自然分形就成了詩人手中強有力的工具之一。
中國古典詩詞推崇「無理而妙」，主張詩人要超越常理，注重把握那些常識思維之外的非常之理，即所謂「妙悟」。深刻的哲理只能靠妙悟去把握。自然分形的不同尋常之處在於它是規則性與不規則性的統一，確定性與不確定性的統一，自相似性與非自相似性的統一，結構精細與破碎粗糙的統一。這些歷來不為科學界關注的現象，即所謂「沒有科學考察價值」的奇形怪狀，恰好能夠啟發詩人理解人生、世道以至宇宙中最深邃精微的道理，並藉助這些奇形怪狀使之形象化，寫出數不清的膾炙人口的哲理詩。
前面提到陸游的詩句「山重水復疑無路，柳暗花明又一村」，就是一首優秀的哲理詩。人生猶如旅行，特別是創造性的人生，前途中充滿無數不可預料的事件，使你不時陷入「山重水復疑無路」的困惑。但你不要喪失信心，前途中同樣有這樣那樣的機遇，只要你勇往直前，總會「柳暗花明又一村」。或者說，人生是由無窮無盡的困惑和機遇交替出現這種迭代操作反覆進行而形成的分形過程，人生的成功或價值乃是這種分形特性造就的。
更傳神的可能是宋代詩人兼旅行家楊萬里的《過松源晨炊漆公店》：
莫言下嶺便無難，賺得行人錯喜歡。
正入萬山圈子裡，一山放出一山攔。
這既是一首描繪群山林立此種空間分形的記游詩，更是一首刻畫人生閱歷的哲理詩，是借群山那種可以感知的分形特徵把無形無像的人生哲理形象化。單個山嶺的分形表現於山嶺的表面特徵，人們要在上山下山中體驗，還不足以充分表現人生哲理的分形特徵；由千山萬嶺、千溝萬壑構成的山區，即所謂「萬山圈子」，它的分形特徵表現於群山環繞、嵌套、疊置等等，有內外之分，講的是山裡山外，人們要在進入山區之後反覆地上山下山中才能全面體驗它的奇妙之處。人的一生從上學開始就如同在萬山圈子裡行進，辦成一件事，實現一個目標，就是爬上一座山嶺，切不可自以為已經把一切困難踩在腳下，因為很快就有另一山嶺攔在你的面前，它的前面還有不知其數的其他山嶺溝壑。借權德輿的詩句表達，就是：「馬首向何處？夕陽千萬峰。」（《嶺上逢久別者又別》）
被評價為「負奇尚氣，慷慨不羈」的宋代詩人戴石屏，有首《少算》詩云：
吾生落落果何為？世事紛紛無了期。
少算人皆笑我拙，求多我卻笑人痴。
庭花密密疏疏蕊，溪柳長長短短枝。
萬事欲齊齊不得，天機正在不齊時。
作者借狀寫庭花和溪柳的分形特徵，從花與柳的自然分形特徵中體悟出齊與不齊、少算與多算的辯證法，生動地表達出一種人生哲理。花蕊有密密疏疏之分，柳枝有長長短短之別，這種非整齊劃一的分形特徵，是不以人的意志為轉移的自然法則，則「天機」使然。人間世事也是這個道理。俗話說，人算不如天算。既然「天機正在不齊時」，你絕不可主觀上強求整齊劃一，人為地使它們規則化。懂得了這一點，就當順應自然，避免痴人般地求多求齊，更不要王熙鳳式的機關算盡。
自相似性是全息觀點的客觀來源。古代各個民族，特別是東方民族，都形成了某種自相似的世界觀，相信世界的整體和它的部分之間相似，因而主張「看局部來通曉全球」，「從全體變化來推斷局部變化」。這種世界觀，或者按照自相似原理思考問題，也反映在文學藝術中。中國古典詩詞特別是佛詩中就有體現。例如，《西遊記》第14回開篇的一首古風中有這樣幾句：
內外靈光到處同，一佛國在一沙中。
一粒沙含大千界，一個身心萬法同。
一粒沙包含整個佛國或大千世界，即心即佛，乃佛教的基本哲理。
佛教的這種自相似世界觀經萊布尼茲在西方傳播，引出英國詩人布萊克的如下回應：
一沙見世界，一花窺天堂。
手心握無限，須臾納永恆。
須臾為時間的最小部分，永恆為時間的全部，把時間分形的自相似性推向極至，必然得出「須臾納永恆」的哲學洞見。印象中此一見識原出中華文明，包括中國古典詩詞，可惜我讀書很少，未能找到出處。
